Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）

【解析】

（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負(fù)確定的單調(diào)性；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問題，通過導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍.

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，解得：，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，方程可化為，

令，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，即<0在上單調(diào)遞減，

，且

在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，，

由此可得圖象如下圖所示：

則當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

由圖象可知：.