Question

如圖，在正三棱柱中，已知，，是的中點，在棱上．

（I）求異面直線與所成角；

（II）若平面，求長；

（III）在棱上是否存在點，使得二面角的大小等于，若存在，求 的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

  解：方法1：（I）取中點，建立如圖所示坐標系，

則，，

，，，設，

∴，，，

∵，∴異面直線與所成角是；

（II）設是面的法向量，則，得，

∵平面，∴，∴，即；

（III）∵是平面的法向量，                            

∴，即，解得，

                                                                                                          

∵點在棱上，∴，而，∴在棱上的點是不存在的．                      

方法2：（I）∵是的中點，∴面，                    

∴，異面直線與所成角是；             

（II）取中點，建立如圖所示坐標系，

則，，

，，，設，

∴，，，

∵平面，∴存在唯一的使得，

∴，∴，即；                           

（III）設是面的法向量，則，得，

∵是平面的法向量，                               

∴，即，解得，

∵  點在棱上，∴，而，∴  在棱上的點是不存在的．