Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知線面垂直得，結(jié)合菱形對角線垂直，可證得線面垂直；

（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計(jì)算出的長，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．

證明：（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以.

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

解：（2）據(jù)題設(shè)知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

因?yàn)?/span>與平面所成角為，即，所以

又，所以，

所以

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則.

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的一個(gè)法向量，且

所以，

．

所以二面角的正弦值為.