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【題目】已知橢圓過點(diǎn)且橢圓的短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得，恒成立？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由橢圓性質(zhì)可知,點(diǎn)代入即可求得結(jié)果.

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時(shí),解得或.由①②可得,然后證明當(dāng)時(shí),通過方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理,坐標(biāo)表示即可證得結(jié)論.

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以.

又橢圓的短軸長為，所以，所以，

解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，

，

由，解得或；

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，

由，解得或.

由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.

當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，，

由，得，

直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

且，.

，

所以

.

綜上所述，在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立..

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，沿將折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)位置，且，為的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合）.

（Ⅰ）證明：平面平面垂直；

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側(cè)面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點(diǎn)的平面分別交，于點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).

(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，與相交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在某條定直線上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案