Question

【題目】已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小值為1，此時直線：

【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點為，把已知用坐標(biāo)表示并整理即得．注意取值范圍；

（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，消元并整理得，

設(shè)，，則可得，，由求出，

將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計算，設(shè).顯然，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.

（1）設(shè)，則，即

整理得

（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得

即

設(shè)，，則，

將直線：與聯(lián)立，得

∴

∴

設(shè).顯然

構(gòu)造

在上恒成立

所以在上單調(diào)遞增

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”

即的最小值為1，此時直線：.

（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.）