Question

【題目】設(shè)函數(shù)，（）.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a、m的值；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不能，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

（2）構(gòu)造，則原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可，值得注意的是，可以通過(guò)代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調(diào)性；

（3）構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo)，研究單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.

（1），

，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

，

解得.

（2）記，

整理得，

由題知，對(duì)任意恒成立，

對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，

，解得，

當(dāng)時(shí)，

對(duì)任意，，，

，

，即在單調(diào)遞增，此時(shí)，

實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，以下給出證明：

記，，

則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

，

當(dāng)時(shí)，，

記，則，

在單調(diào)遞增，

，即，

，

在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

記，

則，

在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

至多有一個(gè)零點(diǎn)，則至多有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，至多有兩個(gè)零點(diǎn).

因此，不可能有三個(gè)零點(diǎn).

關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根.