Question

【題目】已知橢圓x2＋＝1(0<b<1)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B，過(guò)F、B、C三點(diǎn)作圓P，其中圓心P的坐標(biāo)為(m，n)．

(1)若FC是圓P的直徑，求橢圓的離心率；

(2)若圓P的圓心在直線x＋y＝0上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】【試題分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直徑所對(duì)圓周角是直角，即.列方程解出的值，由此求得離心率.（2）求得直線和垂直平分線的方程，求得的值，代入直線方程可求得，由此解得的值并求出橢圓方程.

【試題解析】

　(1)由橢圓的方程知a＝1，

點(diǎn)B(0，b)，C(1,0)．設(shè)F的坐標(biāo)為(－c,0)(c>0)，

∵FC是圓P的直徑，

∴FB⊥BC，

∵kBC＝－b，kBF＝，

∴－b·＝－1，

∴b2＝c＝1－c2，c2＋c－1＝0，

解得c＝，∴橢圓的離心率e＝＝.

(2)∵圓P過(guò)F、B、C三點(diǎn)，

∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，

FC的垂直平分線方程為x＝，①

∵BC的中點(diǎn)為，kBC＝－b，

∴BC的垂直平分線方程為y－＝，②

由①②得x＝，y＝，

即m＝，n＝.

∵P(m，n)在直線x＋y＝0上，

∴＋＝0(1＋b)(b－c)＝0.

∵1＋b>0，

∴b＝c.

由b2＝1－c2得b2＝，

∴橢圓的方程為x2＋＝1.