Question

【題目】已知函數，.

(1)求的值；

(2)令在上最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析．

【解析】

(1)將轉化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；

(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調遞減，在上單調遞增，進而可得，即，即可證出．

函數的定義域為，因為對任意恒成立，

即對任意恒成立，

令，則，

當時，，故在上單調遞增，

又，所以當時，，不符合題意；

當時，令得，

當時，；當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

所以要使在時恒成立，則只需，即，

令，，

所以，

當時，；當時，，

所以在 單調遞減，在上單調遞增，所以，

即，又，所以，

故滿足條件的的值只有

(2)由(1)知，所以，

令，則，

當，時，即在上單調遞增；

又，，所以，使得，

當時，；當時，，

即在上單調遞減，在上單調遞增，且

所以，

即，所以，即．