Question

【題目】如圖，是正方形的對角線，弧的圓心是，半徑為，正方形以為軸旋轉(zhuǎn)，求圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比.

Answer 1

【答案】.

【解析】分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，可得圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為V1=π．圖II旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是半球與圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐的差，因此它的體積V2=V半球﹣V1=π．圖III旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓柱與半球的差，因此它的體積V3=V圓柱﹣V半球=π，由此即可得到三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．

詳解：

設(shè)正方形ABCD的邊長為1，可得

圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為以AB為軸的圓錐體，高AB=1且底面半徑r=1

∴該圓錐的體積為V1=π×AD2×AB=π；

圖II旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AB為半徑的一個半球，減去圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐體而形成，

∴該圓錐的體積為V2=×π×AB2﹣V1=π﹣π=π；

圖III旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AB為軸的圓柱體，減去圖II旋轉(zhuǎn)所得半球而形成，

∴該圓錐的體積為V3=π×AD2×AB﹣V半球=π﹣π=π

綜上所述V1=V2=V3=π，

由此可得圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比為1：1：1．