Question

【題目】如圖，在三棱柱中，點(diǎn)P，G分別是，的中點(diǎn)，已知⊥平面ABC，==3，==2.

（I）求異面直線與AB所成角的余弦值；

（II）求證：⊥平面；

（III）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】分析：（Ⅰ）由題意得∥AB，故∠G是異面直線與AB所成的角，解三角形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱中，由⊥平面ABC可得⊥A1G，于是⊥A1G，又A1G⊥，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論成立．（Ⅲ）取的中點(diǎn)H，連接AH，HG；取HG的中點(diǎn)O，連接OP，．由PO//A1G可得平面，

故得∠PC1O是PC1與平面所成的角，然后解三角形可得所求．

詳解：

(I)∵∥AB，

∴∠G是異面直線與AB所成的角．

∵==2，G為BC的中點(diǎn)，

∴A1G⊥B1C1，

在中，，

∴，

即異面直線AG與AB所成角的余炫值為．

（II）在三棱柱中，

∵⊥平面ABC，平面ABC，

∴⊥A1G，

∴⊥A1G，

又A1G⊥，，

∴平面．

（III）解：取的中點(diǎn)H，連接AH，HG；取HG的中點(diǎn)O，連接OP，．

∵PO//A1G，

∴平面，

∴∠PC1O是PC1與平面所成的角．

由已知得，，

∴

∴直線與平面所成角的正弦值為．