Question

【題目】對于正整數(shù)，若存在1，2，…，的一個排列滿足

（），則稱為“循球數(shù)”.證明：

（1）9、11都是循環(huán)數(shù)；

（2）為循環(huán)數(shù)的一個必要不充分條件是為質(zhì)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）易知，“1，2，4，8，3，6，7，5，9”和“1，2，4，8，7，9，5，10，3，6，11”分別是“1，2，…，9”和“1，2，…，11”的滿足循環(huán)數(shù)定義的排列.故9、11都是循環(huán)數(shù).

（2）若不是質(zhì)數(shù)，由，知存在質(zhì)數(shù)和奇數(shù)，使得.

若為循環(huán)數(shù)，“”是“1，2，…，”的一個排列，滿足循環(huán)數(shù)定義，由循環(huán)性，不妨設(shè)，于是，，…，存在，使得，，，或.

顯然，每項都具有“的整數(shù)倍加或減2的整數(shù)次冪”的形式.

由和，得.

從而，.

故.

因此，為質(zhì)數(shù)是為循環(huán)數(shù)的必要條件.

由是質(zhì)數(shù)，易知，8不是循環(huán)數(shù).