Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為6，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在問題（2）中，令，比較與0的大小關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）.見解析

【解析】

（1）由指數(shù)函數(shù)中底數(shù)大于1，函數(shù)單調(diào)遞增，表示在上最大最小值，由已知構(gòu)建方程，借助換元法求得答案；

（2）由的單調(diào)性，可知常數(shù)的單調(diào)性也是單調(diào)增函數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知，整理得，由，解不等式組得答案；

（3）當(dāng)時(shí)，表示，對其通分、化簡、配成完全平方式，可得答案.

（1）因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以在上最大最小值分別為，，又因?yàn)樽畲笞钚≈抵�和�?/span>6，所以，

設(shè)，則，解之得：，（舍去）

當(dāng)時(shí)得，所以；

（2）因?yàn)?/span>在上單調(diào)增函數(shù)，

所以在上也是單調(diào)增函數(shù)，

若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點(diǎn)，則必有，

即，整理得

因?yàn)?/span>，所以，解得；

（3）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，所以.