Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，記的最小值為，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)實(shí)數(shù)分分兩種情況討論，得出單調(diào)性；（2）由（1）知， ， ， ，所以單調(diào)遞減，又， ，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；所以，再證明出。

試題解析（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)， ， 單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知， ，

即.

解法一： ， ，

∴單調(diào)遞減，

又， ，所以存在，使得，

∴當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

∴ ，又，即， ，

∴ ，令，則在上單調(diào)遞增，

又，所以，∴.

解法二：要證，即證，即證： ，

令，則只需證，

，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

所以 ，

所以，即.