Question

16．動圓P和圓C₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$外切和圓C₂：（x-2）²+y²=$\frac{49}{4}$內切，那么動圓圓心P和已知兩圓的圓心C₁、C₂構成三角形PC₁C₂的周長等于（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由兩圓的方程分別找出圓心C₁與C₂的坐標，及兩圓的半徑r₁與r₂，設圓P的半徑為r，根據(jù)圓P與C₁外切，得到圓心距PC₁等于兩半徑相加，即PC₁=r+$\frac{1}{2}$，又圓P與C₂內切，得到圓心距PC₂等于兩半徑相減，即PC₂=$\frac{5}{2}$-r，由PC₁+PC₂等于常數(shù)2a，C₁C₂等于常數(shù)2c，可得出圓心P在焦點在x軸上，且長半軸為a，短半軸為b的橢圓上，即可得出結論．

解答 解：由圓C₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{4}$和圓C₂：（x-2）²+y²=$\frac{49}{4}$，
得到C₁（-1，0），半徑r₁=$\frac{1}{2}$，C₂（2，0），半徑r₂=$\frac{7}{2}$，
設圓P的半徑為r，
∵圓P與C₁外切而又與C₂內切，
∴PC₁=r+$\frac{1}{2}$，PC₂=$\frac{7}{2}$-r，
∴PC₁+PC₂=（r+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{7}{2}$-r）=2a=4，又C₁C₂=2c=3，
∴a=2，c=1.5，
∴圓心P在焦點在x軸上，且長半軸為4的橢圓上
∴動圓圓心P和已知兩圓的圓心C₁、C₂構成三角形PC₁C₂的周長等于2a+2c=7．
故選：C．

點評 此題考查了圓與圓的位置關系，橢圓的基本性質，以及動點的軌跡方程，兩圓的位置關系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關系來判斷，當d＜R-r時，兩圓內含；當d=R-r時，兩圓內切；當R-r＜d＜R+r時，兩圓相交；當d=R+r時，兩圓外切；當d＞R+r時，兩圓外離．