Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（1）的條件下，證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)，，即可求出與，從而可求出函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過(guò)討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）在（1）的條件下，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為，恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析：（1）

∵

∴

∴

當(dāng)

∴

當(dāng)

，令，令

∴單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

同理，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，當(dāng)時(shí), 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

⑶當(dāng)，時(shí)，要證，只需證.

，則，

∴在上單調(diào)遞增

又∵

∴存在唯一當(dāng)實(shí)數(shù)使得

∴

∴

∴不等式得證