Question

7．設x=m和x=n是函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+2）x的兩個極值點，其中m＜n，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；
（2）求f（m）+f（n）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得k=0，解方程即可得到a的值；
（2）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結合韋達定理，即可求f（m）+f（n）的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2），
曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線斜率為k=1+1-a-2=0，
解得a=0；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$，
依題意，方程x²-（a+2）x+1=0有兩個不等的正根m，n（其中m＜n）．
故$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}-4＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，解得a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以f（m）+f（n）=lnmn+$\frac{1}{2}$（m²+n²）-（a+2）（m+n）
=$\frac{1}{2}$[（m+n）²-2mn]-（a+2）（m+n）=-$\frac{1}{2}$（a+2）²-1＜-3，
故f（m）+f（n）的取值范圍是（-∞，-3）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查切線的方程，考查函數(shù)的極值，主要考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．