Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+x（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件求得f′（x），再根據(jù)有f′（1）=0，求得a的值．
（2）由條件求得f′（x），分類討論、利用導數(shù)的符號求粗函數(shù)的單調區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+ax²+x的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+1，
依題意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=-1．
此時，f′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為0．
（2）因為f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$，
（�。┊攁≥0時，因為x∈（0，+∞），所以f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$＞0，此時函數(shù)f（x）在（0+∞）是增函數(shù)．
（ⅱ）當a＜0時，令f′（x）=0，則2ax²+x=1=0．因為△=1-8a＞0，
此時，f′（x）=$\frac{{2ax}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{2a（x{-x}_{1}）（x{-x}_{2}）}{x}$，
其中，x₁=-$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，x₂=-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$．
因為a＜0，所以 x₂＞0，又因為 x₁•x₂=$\frac{1}{2a}$＜0，所以x₁＜0．
∴當0＜x₁＜x₂時，f′（x）＞0，當x₁＞x₂時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，x₂）上是增函數(shù)，在（x₂，+∞）上是減函數(shù)．
綜上可知，當a≥0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$），單調遞減區(qū)間是（-$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，+∞）．

點評 本題主要考查求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．