Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，函數(shù)，若存在、，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由可得出，令得出，，然后討論與的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，由此可得出，進而可解得實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，

由題意可知，，則，

，

令，則，.

因為是函數(shù)的極值點，所以，即.

①當(dāng)時，即當(dāng)時，解不等式，得或；解不等式，解得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，解不等式，得或；解不等式，解得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

所以，函數(shù)的最大值為，

因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，函數(shù)的最小值為，

所以，在上恒成立.

要使存在、，使得成立，

只需要，即，所以.

又因為，所以實數(shù)的取值范圍是.