Question

【題目】已知函數(shù)（，且）.

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點；當(dāng)時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點．（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到極值點；

（2）結(jié)合（1）得出的單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可得證.

（1）函數(shù)的定義域為.

，

①當(dāng)時，令，得；令，得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點為.

②當(dāng)時，令，得；令，得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點為.

所以當(dāng)時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點；當(dāng)時，函數(shù)的極小值點為，無極大值點．

（2）證明：當(dāng)時，由（1）得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

所以，

令（），則（），

，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以（）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

所以當(dāng)時，.