Question

10．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₃-a₂=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₁=1、a₃-a₂=2及數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，可得q=2，計算即可；
（Ⅱ）通過b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，可寫出S_n、$\frac{1}{2}$S_n的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=1，a₃-a₂=2得：
q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1，
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴q=2，∴a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=$\frac{n}{2{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$1×\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法求前n項和等知識，考查學生的運算求解能力，考查函數(shù)與方程及化歸與轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．