Question

【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形是矩形, ,平面平面.

(1)證明: ；

(2)若, ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】分析：(1) 先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而可得四邊形是菱形,進(jìn)而可得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面的法向量，結(jié)合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：(1)證明: 在三棱柱中,，

.

又.

平面.

設(shè)與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),連接，

四邊形與均是平行四邊形，

,平面，

，，

是平面與平面所成其中一個(gè)二面角的平面角.

又平面平面,

四邊形是菱形,從而.

(2)解:由(1)及題設(shè)可知四邊形是菱形, ，

.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,,，

，.

設(shè)平面的法向量，

即

令,可得.

又由(1)可知平面,

可取平面的法向量為，

。由圖可知二面角的平面角為銳角,所以它的余弦值為.