Question

【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，則稱(chēng)此數(shù)列為“比差等數(shù)列”．

（1）試寫(xiě)出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)；

（2）設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”，問(wèn)是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”，為其前項(xiàng)的和，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）、、（答案不唯一）；（2）存在，且的最小值為；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義得出，由，可得出，然后對(duì)取一個(gè)大于的值，可得出一個(gè)符合條件的“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)；

（2）由題意得出，且，利用基本不等式可求出的最小值；

（3）由可推出，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此得出，、、、，然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.

（1）由于數(shù)列為“比差等數(shù)列”，則，可得.

由于數(shù)列每項(xiàng)都是正數(shù)，則，可得出.

若，則，.

因此，“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)可以是、、（答案不唯一）；

（2）由（1）可知，，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，有最小值；

（3）由題意可得.

由于雙勾函數(shù)在上是增函數(shù)，

，，且，則，

同理可得.

猜想，當(dāng)時(shí)，.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即；

那么當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，

且，

所以，.

由歸納原理可知，當(dāng)時(shí)，.

于是有，、、、，

將上述不等式全部相加得.

因此，.