Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）取得最大值.此時(shí)直線的方程為

【解析】

（1）利用已知條件求出，，即可得到橢圓方程．

（2）設(shè)，，則，直線的斜率，利用點(diǎn)差法可得與的關(guān)系，求出，設(shè)方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，列出韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，即可計(jì)算面積最值.

解：（1）根據(jù)題意，橢圓：的離心率為，則有，

以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，則有，

又，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，

則，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以.

連結(jié)，因?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，設(shè)方程為，

由，

整理得：，，得.

，，

.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí)直線的方程為.