Question

10．已知數(shù)列{a_n}共有5項(xiàng)，滿足a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅≥0，且對任意i、j（1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是該數(shù)列的某一項(xiàng)，現(xiàn)給出下列4個(gè)命題：
（1）a₅=0；
（2）4a₄=a₁；
（3）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（4）集合A={x|x=a_i+a_j，1≤i≤j≤5}中共有9個(gè)元素．
則其中真命題的序號(hào)是（　�。�

• A． （1）、（2）、（3）、（4）
• B． （1）、（4）
• C． （2）、（3）
• D． （1）、（3）、（4）

Answer 1

分析 1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是該數(shù)列的某一項(xiàng)，因此0∈{a_n}，由于a₄-a₅=a₄∈{a_n}，（a₄＞0），可得a₃-a₄=a₄，即a₃=2a₄，以此類推可得：a₂=3a₄，a₁=4a₄．
即可判斷出結(jié)論．

解答 解：∵1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是該數(shù)列的某一項(xiàng)，
∴a_i-a_i=0，
∴當(dāng)a₅=0時(shí)，
則a₄-a₅=a₄∈{a_n}，（a₄＞0）．
必有a₃-a₄=a₄，即a₃=2a₄，
而a₂-a₃=a₃或a₄，
若a₂-a₃=a₃，則a₂-a₄=3a₄，而3a₄≠a₃，a₄，a₅，舍去；
若a₂-a₃=a₄∈{a_n}，此時(shí)a₂=3a₄，
同理可得a₁=4a₄．
可得數(shù)列{a_n}為：4a₄，3a₄，2a₄，a₄，0（a₄＞0）．
綜上可得：（1）a₅=0；
（2）4a₄=a₁；
（3）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（4）集合A={x|x=a_i+a_j，1≤i≤j≤5}={8a₄，7a₄，6a₄，5a₄，4a₄，3a₄，2a₄，a₄，0（a₄＞0）}中共有9個(gè)元素．
因此（1）（2）（3）（4）都正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、新定義，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．