Question

【題目】已知橢圓的離心率,在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）已知動直線（斜率存在）與橢圓相交于點兩點,且的面積,若為線段的中點.點在軸上投影為,問：在軸上是否存在兩個定點,使得為定值,若存在求出的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題意，根據(jù)題設條件，列出關(guān)于的方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式，求得，再由點到直線的距離公式，求得點到直線的距離，得出，求得， 進而得出的值，即可得到結(jié)論.

（1）由題可知，

解之得：

故橢圓的標準方程為：

（2）設直線的方程為

代入橢圓方程，消去得：

若設

則

此時

又點到直線的距離：

∴

∴

假設存在符合題意的兩個定點

∵

∴

又

故當，即時，為定值.

故存在兩點滿足題意.