Question

15．為解決蔬菜保鮮問題，很多菜農(nóng)在政府的引導(dǎo)下投資建立冷庫，把蔬菜的銷售時間延長，某菜農(nóng)計劃在自己的住房旁邊建一個長方體型簡易冷庫，高度為2米，利用現(xiàn)有的住房的一面墻作為冷庫的東墻，冷庫的西墻利用鋼結(jié)構(gòu)，每平方米造價200元，南北兩墻砌磚，每平方米造價225元，頂部每平方米造價200元．設(shè)西墻的長度為x元，冷庫的占地面積為S平方米．
（1）若S=121，則該菜農(nóng)至少需要投資多少元？
（2）若菜農(nóng)計劃投資32000元，求S的最大值及此時x的值．

Answer 1

分析 （1）通過S=121可知南墻的長度為$\frac{121}{x}$米，進(jìn)而投資為2×225×$\frac{121}{x}$×2+200×x×2+200×121，利用基本不等式計算即得結(jié)論；
（2）通過32000=2×225×$\frac{S}{x}$×2+200×x×2+200S，整理得S=-[（2x+9）+$\frac{169×9}{2x+9}$]+178，利用基本不等式計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，南墻的長度為$\frac{121}{x}$米，
故投資為2×225×$\frac{121}{x}$×2+200×x×2+200×121
=24200+100（$\frac{1089}{x}$+4x）
≥24200+200×$\sqrt{\frac{1089}{x}×4x}$
=37400（元），
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1089}{x}$=4x即x=16.5時取最小值；
（2）依題意，32000=2×225×$\frac{S}{x}$×2+200×x×2+200S，
整理得：320=9•$\frac{S}{x}$+4x+2S，
∴S=$\frac{320-4x}{\frac{9}{x}+2}$
=$\frac{（-4{x}^{2}+320x+169×9）-169×9}{2x+9}$
=-2x+169-$\frac{169×9}{2x+9}$
=-[（2x+9）+$\frac{169×9}{2x+9}$]+178
≤-2$\sqrt{（2x+9）•\frac{169×9}{2x+9}}$+178
=-2×39+178
=100，
當(dāng)且僅當(dāng)2x+9=$\frac{169×9}{2x+9}$即x=15時S取最大值．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．