Question

已知△AOB中，∠AOB=

π

2

，且向量

OA

=（-1，3），

OB

=（cosα，-sinα）．
（1）求

sin(π-2α)+cos2α

2cos2α+sin2α+2

；
（2）若α是鈍角，α-β是銳角，且sin（α-β）=

3

5

，求sinβ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量坐標(biāo)和垂直關(guān)系可得tanα的值，化簡要求的式子代入tanα的值計(jì)算可得；
（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα，sinα，cos（α-β）的值，而sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β），代入計(jì)算可得．

解答： 解：（1）∵

OA

=(-1，3)，

OB

=(cosα，-sinα)且OA⊥OB
∴

OA

•

OB

=-cosα-3sinα=0，∴tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

．
∴

sin(π-2α)+cos2α

2cos2α+sin2α+2

=

sin2α+cos2α

2(2cos2α-1)+sin2α+2

=

2sinαcosα+cos2α

4cos2α+2sinαcosα

=

2sinα+cosα

4cosα+2sinα

=

2tanα+1

4+2tanα

=

1

10

．
（2）∵α為鈍角，tanα=-

1

3

，α-β為銳角，sin（α-β）=

3

5

，
∴由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα=-

3 10

10

，sinα=

10

10

，cos（α-β）=

4

5

．
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=

13

50

10

．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及向量的數(shù)量積和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．