Question

7．函數(shù)f（x）的定義域為D，函數(shù)g（x）的定義域為E．規(guī)定：函數(shù)$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）g（x），x∈D且x∈E\\ f（x），x∈D且x∉E\\ g（x），x∈E且x∉D\end{array}\right.$
（Ⅰ）若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x-1}，g（x）={x^2}$，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷問題（Ⅰ）中函數(shù)h（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈（0，π），請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并給予證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷證明即可；
（Ⅲ）根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系進行解方程即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定義域為R，
∴$h（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{x-1}，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）\\ 1，x=1\end{array}\right.$
（Ⅱ）當x＞1時，$h（x）=\frac{x^2}{x-1}$
任意取x₁＜x₂∈（1，+∞），則$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}-1}}-\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）]}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
∵${x_1}＜{x_2}∈（1，+∞）\begin{array}{l}{\;}&{∴{x_1}-{x_2}＜0，{x_1}-1＞0，{x_2}-1＞0}\end{array}$
①當x₁＜x₂∈（1，2）時，x₁x₂-（x₁+x₂）＜0，即h（x₁）-h（x₂）＞0，
∴h（x₁）＞h（x₂），故，h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減．
②當x₁＜x₂∈（2，+∞）時，x₁x₂-（x₁+x₂）＞0，即h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴h（x₁）＜h（x₂），故，h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上，h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，h（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）由函數(shù)y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+α）的定義域為R，
∴對于任意x∈R，都有h（x）=f（x）g（x）
即對于任意x∈R，都有cos4x=f（x）f（x+α），
∴我們考慮將cos4x分解成兩個函數(shù)的乘積，
而且這兩個函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化cos4x=cos²2x-sin²2x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=$\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）•\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）$，
∴可取$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，$α=\frac{π}{4}$即可．
（答案不唯一）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．