Question

【題目】設數列的首項為，前項和為，若對任意的，均有（是常數且）成立，則稱數列為“數列”.

（1）若數列為“數列”，求數列的通項公式；

（2）是否存在數列既是“數列”，也是“數列”？若存在，求出符合條件的數列的通項公式及對應的的值；若不存在，請說明理由；

（3）若數列為“數列”， ，設，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意得，故，兩式相減可得，在此基礎上可得數列為等比數列，從而可得通項公式．（2）利用反證法可得不存在這樣的數列既是“數列”，也是“數列”．（3）由數列為“數列”，可得到對任意正整數恒成立，于是可得，然后根據錯位相減法求得 ，故得，故，即，即結論成立．

試題解析：

（1）因為數列為“數列”，

則

故，

兩式相減得： ，

又時， ，

所以，

故對任意的恒成立，即（常數），

故數列為等比數列，其通項公式為.

（2）假設存在這樣的數列，則有，故有

兩式相減得： ，

故有，

同理由是“數列”可得，

所以對任意恒成立．

所以，

即，

又，

即，

兩者矛盾，故不存在這樣的數列既是“數列”，也是“數列”．

（3）因為數列為“數列”，

所以，

所以，

故有， ，

又時， ，

故，滿足，

所以對任意正整數恒成立，數列的前幾項為： ．

故，

所以，

兩式相減得 ，

顯然，

故，

即.