Question

7．已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線l：y=3x+1上，P₁是直線l與y軸的交點，數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$是否存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a₁=0，b₁=1，然后求出a_n，通過點P_n（a_n，b_n）在直線l：y=3x+1上，求出b_n．
（2）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n為偶數(shù)\\ 3n-2，n為奇數(shù)\end{array}\right.$，假設(shè)存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立，通過①當(dāng)k為奇數(shù)時，②當(dāng)k為偶數(shù)分別求解k即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）因為P₁（a₁，b₁）是直線l：y=3x+1與y軸的交點（0，1），
所以a₁=0，b₁=1．…（2分）
因為數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
所以a_n=n-1．…（4分）
因為點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在直線l：y=3x+1上，
所以b_n=3a_n+1=3n-2．
所以數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式分別為a_n=n-1，b_n=3n-2k∈N^*．…（6分）
（2）因為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n為偶數(shù)\\ 3n-2，n為奇數(shù)\end{array}\right.$
假設(shè)存在k∈N^*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）
①當(dāng)k為奇數(shù)時，k+3為偶數(shù)，
則有3（k+3）-2=4（k-1），
解得k=11，符合題意．…（10分）
②當(dāng)k為偶數(shù)時，k+3為奇數(shù)，
則有（k+3）-1=4（3k-2），
解得k=$\frac{10}{11}$，不合題意．…（13分）
綜上可知，存在k=11符合條件．…（14分）

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列的通項公式的求法，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．