Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可。（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。構(gòu)造函數(shù)設(shè)， ，只需證明即可。因此將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值即可。

試題解析：

（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)， ， ，

∴，

∴，

又，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）“當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，”

等價(jià)于“當(dāng)時(shí)， 恒成立�！�

設(shè)， ，

則，

①當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

故，

根據(jù)題意有，解得.

②當(dāng)，即時(shí)，

則當(dāng)， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減.

∵，

∴不符合題意．

③當(dāng)，即時(shí)，注意到，顯然不合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)．