Question

16．已知直線y=k（x+a）（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A，與直線x=c（c＞0，c＜a）交于點(diǎn)M，橢圓C以A為左頂點(diǎn)，以F（c，0）為右焦點(diǎn)，且過點(diǎn)M，當(dāng)$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，橢圓C的離心率的范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{2}{3}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 由題意，|AF₂|=a+c，|MF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，再由∠MAF₂是直線的傾斜角，易得k=tan∠MAF₂=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$，然后通過$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$可得$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$＜$\frac{1}{2}$，再分子分母同除a²得$\frac{1}{3}$＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{2}$求解．

解答 解：由題意，|AF₂|=a+c，|MF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
∴k=tan∠MAF₂=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$，
又∵$\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1-{e}^{2}}{1+e}$＜$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$＜e＜$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系及橢圓的幾何性質(zhì)和直線的斜率與傾斜角，難度不大，但需要靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化知識．