Question

【題目】已知直線過點(diǎn)和橢圓：的焦點(diǎn)且方向向量為，且橢圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且滿足（為原點(diǎn)）？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;

(2)

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上得到： ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立即得解；

（2）轉(zhuǎn)化為：，得到

，設(shè)直線m，與橢圓聯(lián)立，表示，即可求解得到直線m的方程.

（1）直線，過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為：

聯(lián)立解得：

因?yàn)闄E圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，

又直線l過橢圓的焦點(diǎn)，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

因此橢圓的方程為：

（2）設(shè)，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，直線m的方程為：

，直線與橢圓聯(lián)立整理得：

當(dāng)直線m垂直于x軸時(shí)，也滿足，

故m得方程為：