Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）試求在上的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見(jiàn)解析; （3）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為；（2）， ，得，討論， ， ，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可以求出函數(shù)在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)于， ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而證明成立，于是問(wèn)題得證.

試題解析：(1)由，得.當(dāng)時(shí)， ，令，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為.

(2)令，得，所以當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 恒成立， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 恒成立， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ， 單調(diào)遞減； 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，綜上，無(wú)論為何值，當(dāng)時(shí)， 最大值都為或. ，

，所以當(dāng)

時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， .

（3）令，所以，所以，令，

解得，所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立.