Question

16．已F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點，l為其左準線，其左支上存在一點P使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項，求雙曲線的離心率的范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合離心率的概念，列出不等式，求出離心率的取值范圍．

解答 解：設在左支上存在P點，使|PF₁|²=|PF₂|•d，
由雙曲線的第二定義知$\frac{|{PF}_{1}|}bl7xrf7$=$\frac{|{PF}_{2}|}{|{PF}_{1}|}$=e，
即|PF₂|=e|PF₁|①
再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=$\frac{2a}{e-1}$，|PF₂|=$\frac{2ae}{e-1}$，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴$\frac{2a}{e-1}$+$\frac{2ae}{e-1}$≥2c．③
利用e=$\frac{c}{a}$，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-$\sqrt{2}$≤e≤1+$\sqrt{2}$；
又e＞1，
∴1＜e≤1+$\sqrt{2}$；
所以，雙曲線離心率的取值范圍是（1，1+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了雙曲線的定義與幾何性質(zhì)的應用問題，解題時應利用雙曲線的第一、第二定義求解，是綜合性題目．