Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.

（1）設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：GH//平面PAD；

（2）求證：⊥平面PCD；

（3）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）要證明線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，連結(jié)，由題意得，利用中位線證明；

（2）要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理可知需垂直于平面內(nèi)的兩條直線，利用面面垂直的性質(zhì)定理，取棱中點(diǎn)，連結(jié)，再證明；

（3）連結(jié)，由平面，知是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．

（1）連結(jié)，由題意得，，

又由，得，

平面，平面，

平面．

（2）取棱中點(diǎn)，連結(jié)，

依題意得，

又平面平面，平面平面，

平面，

又平面，，

又，，

平面．

（3）連結(jié)，由（2）中平面，

知是直線與平面所成角，

是等邊三角形，，且為中點(diǎn)，

，又，

在中，．

直線與平面所成角的正弦值為．