Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上異于的兩點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若直線(xiàn)的斜率之積為，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x； （2）直線(xiàn)AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)（8，0）.

【解析】

（I）利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出，然后求拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）通過(guò)直線(xiàn)的斜率是否存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及斜率乘積關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可．

（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以.

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之積為，所以，化簡(jiǎn)得.

所以，，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立得化簡(jiǎn)得.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之積為，

所以，

即.即，

解得（舍去）或.

所以，即，所以，

即.

綜上所述，直線(xiàn)過(guò)軸上一定點(diǎn).