Question

已知函數(shù)．
（1）求證：時，恒成立；
（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間．

解析試題分析：（1）當時，，根據(jù)求函數(shù)極值的一般步驟，先求函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，解的方程，得可能的極值點，進一步得函數(shù)的單調(diào)性，最后得的最小值，從而證得恒成立；（2）當時，先求的導數(shù)：，根據(jù)表達式的結(jié)構(gòu)特征，分子為，故只需分，，幾種情況，分別求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
試題解析：（1）當時，，，，令，解得：．當時，，在上單調(diào)遞減； 當時，，在上單調(diào)遞增，∴．
所以，， ．                            5分
（2）的定義域為，．
①當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當時，．令，解得：．
�。┊�時，，令，解得：．令，解得：或，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
ⅱ）當時，，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間．