Question

16．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC的邊長為3，此三棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{7}$，則異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{23}{50}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫出圖形，再設(shè)三棱柱外接球的球半徑為r，利用在直角三角形ADO中的邊的關(guān)系求出正三棱本的高，作出空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)三棱柱外接球的球心為O，球半徑為r，
三棱柱的底面三角形ABC的中心為D，如圖，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC的邊長為3，此三棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{7}$，
∴OA=$\sqrt{7}$，AD=$\frac{2}{3}×\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{7-3}$=2，∴AA₁=4，
以A為原點，以過A在平面ABC中作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
B₁（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），C₁（0，3，4），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，4），
設(shè)異面直線AB₁與BC₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{23}{2}}{25}$=$\frac{23}{50}$．
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{23}{50}$．
故答案為：$\frac{23}{50}$．

點評 本題考查三棱錐、球、空間中線線、線面間的相互關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．