Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1 ， C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）b=2時(shí)，h（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，
則h′（x）= ﹣ax﹣2=﹣ ．
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h'（x）＜0有解．
又因?yàn)閤＞0時(shí)，則ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．
①當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax2+2x﹣1為開口向上的拋物線，ax2+2x﹣1＞0總有x＞0的解；
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax2+2x﹣1為開口向下的拋物線，而ax2+2x﹣1＞0總有x＞0的解；
則△=4+4a≥0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此時(shí)，﹣1＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x1 ， y1），（x2 ， y2），0＜x1＜x2 ．
則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x= ，
C1在點(diǎn)M處的切線斜率為k1= ，x= ，k1= ，
C2在點(diǎn)N處的切線斜率為k2=ax+b，x= ，k2= +b．
假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2 ．
即 = +b，
則
= （x22﹣x12）+b（x2﹣x1）
= （x22+bx2）﹣（ +bx1）
=y2﹣y1
=lnx2﹣lnx1 ．
所以 = ．設(shè)t= ，則lnt= ，t＞1①
令r（t）=lnt﹣ ，t＞1．則r′t= ﹣ = ．
因?yàn)閠＞1時(shí)，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞ ．這與①矛盾，假設(shè)不成立．
故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行
【解析】（Ⅰ）先求函數(shù)h（x）的解析式，因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范圍；（Ⅱ）先利用導(dǎo)數(shù)分別表示出函數(shù)在C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線，結(jié)合過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1 ， C2于點(diǎn)M、N，建立關(guān)系式，通過反證法進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)．