Question

15．已知函數(shù)f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（1）當(dāng)m=7時，求曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值集合A．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)m≤0時，f（x）≥0不恒成立；當(dāng)m＞0時，求得單調(diào)區(qū)間，可得f（x）_min=f（$\frac{2}{m}$），要使f（x）≥0恒成立，即2-2ln2-m+2lnm≥0，令h（m）=2-2ln2-m+2lnm，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=7x-7-2lnx，
f′（x）=7-$\frac{2}{x}$，
曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線斜率為5，
即有曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y-0=5（x-1），
即為5x-y-5=0；
（2）函數(shù)f（x）=mx-m-2lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)m≤0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)m＞0時，令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2}{m}$，令f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{2}{m}$，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{2}{m}$，+∞）上為增函數(shù)，在（0，$\frac{2}{m}$）上為減函數(shù)．
（2）由（1）可知，當(dāng)m≤0時，f（x）≥0不恒成立；
當(dāng)m＞0時，f（x）_min=f（$\frac{2}{m}$），
要使f（x）≥0恒成立，即2-2ln2-m+2lnm≥0．
令h（m）=2-2ln2-m+2lnm，h′（m）=-1+$\frac{2}{m}$，
可得m∈（0，2）時，h（m）為增函數(shù)，
m∈（2，+∞）時，h（m）為減函數(shù)，
∴h_max（m）=h（2）=0，即h（m）≤0，
∴m=2．
∴m的取值集合是{2}．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論解決新問題的能力，屬于中檔題．