Question

20．設函數f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，求S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）…+f（$\frac{2014}{2015}$）的和．

Answer 1

分析 可證f（x）+f（1-x）=1，由倒序相加法可得所求為1007對的組合，即1007個1，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{x}•{4}^{1-x}}{{（4}^{1-x}+2）•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{{4}^{x}+2}$=1
故可得S=f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）…+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007×1=1007

點評 本題考查倒序相加法求和，得出f（x）+f（1-x）=1并得出所求即為1007對項的和是解決問題的關鍵，屬中檔題．