Question

14．如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（Ⅰ）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）直線EA與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（法1）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連結(jié)DG，說明∠DGC是所求二面角的平面角．設(shè)AB=AC=AE=2a，轉(zhuǎn)化求解cosθ=cos∠DGC，求出結(jié)果．
（法2）以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則z軸在平面EACD內(nèi)，設(shè)AB=AC=AE=2a，求出平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$，平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
（Ⅱ）設(shè)EA與平面BCD所成的角為α，EA與平面BCD的法向量所成的角為β，由（1）推出AP為平面BCD的法向量．利用空間向量的數(shù)量積求解直線EA與平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）（法1）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連結(jié)DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，圖1所示．

BG是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴DC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面DGC，∴l(xiāng)⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．
設(shè)AB=AC=AE=2a，則CD=$\sqrt{3}a$，GC=2a，
∴GD=$\sqrt{G{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{7}a$，
∴cosθ=cos∠DGC=$\frac{GC}{GD}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
（法2）∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC．
∴以點A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則z軸在平面EACD內(nèi)（如圖2）．設(shè)AB=AC=AE=2a，由已知，得B（2a，0，0），E（0，a，$\sqrt{3}a$），D（0，2a，$\sqrt{3}a$）．C（0，2a，0）
∴$\overrightarrow{EB}$=$（2a，-a，-\sqrt{3}a）$，$\overrightarrow{ED}$=（0，a，0），
設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EB}$且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{ED}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{2ax-ay-\sqrt{3}az=0}\\{ay=0}\end{array}\right.$
解之得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}z}\\{y=0}\end{array}\right.$
取z=2，得平面EBD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$）．
又∵平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
cosθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{7×1}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)EA與平面BCD所成的角為α，EA與平面BCD的法向量所成的角為β，由（1）可知AP⊥CD，又AP⊥BC，∴AP為平面BCD的法向量．由B、C的坐標(biāo)可得點P的坐標(biāo)為（a，a，0），即$\overrightarrow{AP}$=（a，a，0）；由（1）$\overrightarrow{AE}$=（0，a，$\sqrt{3}a$），∴sinα=|cosβ|=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a•2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即直線EA與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．