Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足對于任意實數(shù)，都有，且當(dāng)時，，．

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）判斷的單調(diào)性，并求當(dāng)時，的最大值及最小值；

（3）解關(guān)于的不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）在上是減函數(shù)．最大值為6，最小值為-6； （3）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）令，求出，再令，由奇偶性的定義，即可判斷；

（2）任取，則．由已知得，再由奇函數(shù)的定義和已知即可判斷單調(diào)性，由，得到，，再由單調(diào)性即可得到最值；

（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再由單調(diào)性，即得，即，再對b討論，分，，，，共5種情況分別求出它們的解集即可.

（1）令，則，即有，

再令，得，則，

故為奇函數(shù)；

（2）任取，則．由已知得，

則，

∴，∴在上是減函數(shù)．

由于，則，，．由在上是減函數(shù)，得到當(dāng)時，的最大值為，最小值為；

（3）不等式，即為.

即，即有，

由于在上是減函數(shù)，則，即為，

即有，

當(dāng)時，得解集為；

當(dāng)時，即有，

①時，，此時解集為，

②當(dāng)時，，此時解集為，

當(dāng)時，即有，

①當(dāng)時，，此時解集為，

②當(dāng)時，，此時解集為．