Question

【題目】已知函數(shù)，對于函數(shù)有下述四個結論：

①函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)；

②對于任意的，都有成立；

③有且僅有兩個零點；

④若在點處的切線也是的切線，則必是零點．

其中所有正確的結論序號是（ ）

A.①②③B.①②C.②③④D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用特殊值法可判斷①的正誤；推導出當時，從而可判斷②的正誤；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在定理可判斷③的正誤；利用導數(shù)的幾何意義得出等式，進而可判斷④的正誤.綜合可得出結論.

，，

所以，函數(shù)在其定義域上不是增函數(shù)，①錯；

∵當時，則，因此成立，②對；

函數(shù)的定義域為，且，

所以，函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，

，，

，即函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點．

，，，

所以，函數(shù)區(qū)間上有且僅有個零點．

因此，函數(shù)有且僅有兩個零點，③對；

在點處的切線的方程．

又也是的切線，設其切點為，則的斜率，

從而直線的斜率，，即切點為，

又點在上，，

即必是函數(shù)的零點，④對．

故選：C.