Question

【題目】在直角梯形ABCD中（如圖1），，，，，，點E在CD上，且，將沿AE折起，使得平面平面ABCE（如圖2），G為AE中點．

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）在線段BD上是否存在點P，使得平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)平面與平面垂直的性質定理得到平面ABCE，再根據(jù)椎體的體積公式計算可得結果；

（Ⅱ）過點C作交AB于點F，過點F作交DB于點P，連接PC，可證得平面平面ADE，再根據(jù)平面與平面平行的性質可得平面ADE，最后根據(jù)平面幾何知識可求得比值.

（Ⅰ）證明：因為G為AE中點，，所以．

因為平面平面ABCE，平面平面，

平面ADE，所以平面ABCE．

在直角三角形ADE中，易求，

則，

所以四棱錐的體積．

（Ⅱ）在BD上存在點P，使得平面ADE且，

過點C作交AB于點F，過點F作交DB于點P，連接PC，

如圖所示：

因為，平面ADE．平面ADE，所以平面ADE，

同理平面ADE，

又因為，所以平面平面ADE．

因為平面CFP，所以平面ADE．

所以在BD上存在點P，使得平面ADE．

因為四邊形AECF為平行四邊形．

所以，即，

故.

所以在BD上存在點P，使得平面ADE且.