Question

5．在直角△ABC中，$A=\frac{π}{2}，|AB|=1，|AC|=2，M$是△ABC內(nèi)的一點，且$|AM|=\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，則λ+2μ的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，將$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$兩邊平方，展開，利用數(shù)量積公式得到關于λ，μ的等式，然后結(jié)合基本不等式求λ+2μ的最大值．

解答 解：由題意$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$兩邊平方得到${\overrightarrow{AM}}^{2}={λ}^{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+{μ}^{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+2λμ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，又$A=\frac{π}{2}，|AB|=1，|AC|=2，M$是△ABC內(nèi)的一點，且$|AM|=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{4}={λ}^{2}+4{μ}^{2}$$≥\frac{（λ+2μ）^{2}}{2}$，所以λ+2μ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，當且僅當λ=2μ時等號成立；
λ+2μ的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查了平面向量的運算；考查了基本不等式的運用；關鍵是由已知向量等式得到λ，μ的關系，利用基本不等式求最大值．