Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1具有以下性質(zhì)：
①對任意實數(shù)x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）時，滿足x₁+x₂=2．
②對任意x₁，x₂∈（1，+∞）上，總有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
則方程ax²+bx+1=0根的情況是（　�。�

• A． 無實數(shù)根
• B． 有兩個不等正根
• C． 有兩個異號實根
• D． 有兩個相等正根

Answer 1

分析 由①可得二次函數(shù)的對稱軸，由②可得，x＞1時，f（x）遞減，求得a＜0，b＞0，求得判別式大于0，運用韋達定理，即可得到結(jié)論．

解答 解：由①可得，對稱軸為x=1，
即有b=-2a；
由②可得，x＞1時，函數(shù)f（x）的圖象上凸，函數(shù)遞減．
即有a＜0，b＞0，判別式△=b²-4a=4a（a-1）＞0，
設(shè)兩根為x₁，x₂，即有x₁+x₂=-$\frac{a}$＞0，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＜0，
則方程ax²+bx+1=0根的情況是有兩個異號的實根．
故選：C．

點評 本題考查二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的運用，考查二次方程韋達定理的運用，屬于中檔題．