Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）   實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析:

（1）當(dāng)a=1時(shí)，，其定義域是，

       

    令，即，解得或．

    ，舍去．

     當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減

    ∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即．

    ∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．  

（2）因?yàn)?img width=148 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/77/177677.gif">其定義域?yàn)?img width=49 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/58/177658.gif">，

所以     

①當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意

②當(dāng)a>0時(shí)，等價(jià)于，即．

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．         

③當(dāng)a<0時(shí)，等價(jià)于，即·

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是