Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，現沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.

（1）求證：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質定理，//，最后可得結果.

（2）根據二面角平面角大小為，可知N為的中點，然后利用建系，計算以及平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結果.

（1）不妨設，則，

在中,

，

則，

因為，

所以，因為//，

且A、B、M、N四點共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.

而，.

（2）因為平面平面，且，

所以平面，，

因為，所以平面，，

因為，平面與平面夾角為，

所以，在中，易知N為的中點，

如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

，，，

設平面的一個法向量為，

則由，

令，得.

設與平面所成角為，

則.